Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓：上的一動點到右焦點的最短距離為，且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 過點(，)的動直線交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉動，以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解： (Ⅰ)設橢圓的焦距為，則由題設可知，解此方程組得
，.   所以橢圓C的方程是.     ………5分
(Ⅱ)解法一：假設存在點T（u, v）. 若直線l的斜率存在，設其方程為，
將它代入橢圓方程，并整理，得．
設點A、B的坐標分別為，則    
因為及
所以

                         ……9分
當且僅當恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點T，
所以解得
此時以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）.                       ……11分
當直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為也過點T（0，1）.
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1），滿足條件.        ……13分
解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是         
若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是            ……7分
由解得.
由此可知所求點T如果存在，只能是（0，1）.                          ……8分
事實上點T（0，1）就是所求的點.    證明如下：
當直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為，
過點T（0，1）；   當直線l的斜率存在，設直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得
設點A、B的坐標為，則              ……10分
因為，


所以，即以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）.
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件.           ……13分

解析