Question

如圖1，若射線OM，ON上分別存在點M₁，M₂與點N₁，N₂，則

S△OM1N1

S△OM2N2

=

OM1

OM2

•

ON1

ON2

；如圖2，若不在同一平面內的射線OP，OQ和OR上分別存在點P₁，P₂，點Q₁，Q₂和點R₁，R₂，則類似的結論是什么？這個結論正確嗎？說明理由．

Answer 1

類似的結論為：

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1

OP2

•

OQ1

OQ2

•

OR1

OR2

．（3分）
這個結論是正確的，證明如下：
如圖，過R₂作R₂M₂⊥平面P₂OQ₂于M₂，連OM₂．過R₁在平面OR₂M₂作R₁M₁∥R₂M₂交OM₂于M₁，
則R₁M₁⊥平面P₂OQ₂．由VO-P1Q1R1=

1

3

S△P1OQ1•R₁M₁=

1

3

•

1

2

OP₁•OQ₁•sin∠P₁OQ₁•R₁M₁
=

1

6

OP₁•OQ₁•R₁M₁•sin∠P₁OQ₁，（6分）
同理，VO-P2Q2R2=

1

6

OP₂•OQ₂•R₂M₂•sin∠P₂OQ₂．（8分）
∴

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•R1M1

OP2•OQ2•R2M2

．（10分）
由平面幾何知識可得

R1M1

R2M2

=

OR1

OR2

．
∴

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•OR1

OP2•OQ2•OR2

．
∴結論正確．（14分）