Question

（本小題13分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直．

（1）若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值都有，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）的最小值為4（2）

【解析】

試題分析：⑴．

根據(jù)題意，解得，所以．                              ……2分

令，即．得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060409300234866342/SYS201306040931282080240587_DA.files/image010.png">，，

所以當(dāng)時(shí)，，．                        ……4分

則對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有

，所以．

所以的最小值為4．                                                    ……6分

（2）因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為．

則．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060409300234866342/SYS201306040931282080240587_DA.files/image023.png">，所以切線的斜率為．

則=，

即．

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，

所以方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

所以函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)．

則．令，則或．

則 ，即，解得．                              ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，尤其是單調(diào)性、極值、最值等，不論研究函數(shù)的什么性質(zhì)，不要忘記先看函數(shù)的定義域.