Question

（2013•山東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為

2

2

（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為

6

4

的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C與點P，設

OP

=t

OE

，求實數t的值．

Answer 1

分析：（I）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距為2c．由題意可得

2b=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解出即可得到橢圓的方程．
（II）由題意設直線AB的方程為x=my+n，代入橢圓方程x²+2y²=2，化為（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，利用判別式、根與系數的關系即可得到弦長|AB|，再利用點到直線的距離公式即可得到原點O到直線AB的距離，進而得到三角形AOB的面積，利用

1

2

|AB|d=

6

4

即可得到m，n，t的關系，再利用

OP

=t

OE

，及中點坐標公式即可得到點P的坐標代人橢圓的方程可得到m，n，t的關系式與上面得到的關系式聯立即可得出t的值．

解答：解：（I）由題意設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距為2c．
則

2b=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得

b=c=1 a= 2

，∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）由題意設直線AB的方程為x=my+n，代入橢圓方程x²+2y²=2，化為（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，
則△=4m²n²-4（m²+2）（n²-2）=4（2m²+4-2n²）＞0，（*）
y1+y2=

-2mn

m2+2

，y1y2=

n2-2

m2+2

，
∴|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[( -2mn m2+2 )2-4× n2-2 m2+2 ]

=

2 (1+m2)(2m2+4-2n2)

m2+2

．
原點O到直線AB的距離d=

|n|

m2+1

，
∵

1

2

|AB|d=

6

4

，
∴

1

2

×

2 (1+m2)(2m2+4-2n2)

m2+2

×

|n|

1+m2

=

6

4

，化為

n2(2m2+4-2n2)

(m2+2)2

=

3

8

．（**）
另一方面，yE=

y1+y2

2

=

-mn

m2+2

，
∴x_E=my_E+n=

-m2n

m2+2

+n=

2n

m2+2

，即E(

2n

m2+2

，

-mn

m2+2

)．
∵

OP

=t

OE

，∴P(

2nt

m2+2

，

-mnt

m2+2

)．
代入橢圓方程得

(2nt)2

2(m2+2)2

+(

-mnt

m2+2

)2=1，
化為n²t²=m²+2，代入（**）得

n2(2n2t2-2n2)

(n2t2)2

=

3

8

，化為3t⁴-16t²+16=0，解得t2=4或

4

3

．
∵t＞0，∴t=2或

2 3

3

．經驗證滿足（*）．
∴t=2或

2 3

3

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式、向量共線等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力、分類討論的能力及化歸思想方法．