Question

已知函數．
（1）設兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同，若a＞0，試建立b關于a的函數關系式；
（2）若b∈[-2，2]時，函數h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x在（0，4）上為單調增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設兩曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點（x₀，y₀） 處的切線相同，
由于f′（x）=x+2a，g′（x）=，
由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即
解得 x₀=a或x₀=-3a （舍去），
將x₀=a代入上述方程組中的第一個方程，得b=-3a²lna，
∴b關于a的函數關系式為：b=-3a²lna（a＞0）．
（2）h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x
=．
∵h（x）在（0，4）上恒為單調增函數，
所以恒成立，在b∈[-2，2]時恒成立，
即對x∈（0，4）恒成立．
∴3a²≥-x²+2x=-（x-1）²+1對x∈（0，4）恒成立，
∴3a²≥1，
∴或．
綜上，a的取值范圍是：或．
分析：（1）設公共點（x₀，y₀），根據題意得到f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b關于a的函數關系式；
（2）根據已知h（x）為單調增函數，則h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，再轉化為對x∈（0，4）恒成立，解出a的取值范圍即可．
點評：本題主要考查函數的單調性、利用導數研究曲線上某點切線方程等知識，是一道關于函數的綜合題，屬于中檔題．