Question

已知曲線的方程為，過原點作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，如此下去，一般地，過點作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，設點（）．
（1）指出，并求與的關系式（）；
（2）求（）的通項公式，并指出點列，，，向哪一點無限接近？說明理由；
（3）令，數列的前項和為，試比較與的大小，并證明你的結論．

Answer 1

（1）；（2），；（3）.

試題分析：（1）由于，點，又都是拋物線上的點，代入進去變形可得到與的關系為；（2）由于只要求數列的奇數項，因此把（1）中得到的關系式中分別為代換，得到兩個等式相減可得與的關系式，用累加法可求得通項公式，當時，，即得極限點為；（3）求出，是一個等比數列，其，于是，要比較與的大小，只要比較與的即可，可計算前幾個數，時，，時，，時，，時，，可以歸納出結論，時有，這個可用二項式定理證明，，由于，展開式中至少有4項，因此.
試題解析：（1）．                         （1分）
設，，由題意得 ．     （2分）
                      （4分）
（2）分別用、代換上式中的n得
 ()       （6分）
又，，              （8分）
因，所以點列，， ，， 向點無限接近.     （10分）
（3），．     （12分）
，只要比較．  （13分）
 （15分）
當n=1時，                            （16分）
當n=2時，                            （17分）
當n>2時，．                          （18分）