Question

某電視臺舉辦了“中華好聲音”大型歌手選秀活動，過程分為初賽、復賽和決賽，經初賽進入復賽的40名選手被平均分成甲、乙兩個班，由組委會聘請兩位導師各負責一個班進行聲樂培訓。下面是根據這40名選手參加復賽時獲得的100名大眾評審的支持票數制成的莖葉圖：

賽制規定：參加復賽的40名選手中，獲得的支持票數排在前5名的選手可進入決賽，若第5名出現并列，則一起進入決賽；另外，票數不低于95票的選手在決賽時擁有“優先挑戰權”。
1、從進入決賽的選手中隨機抽出3名，求其中恰有1名擁有“優先挑戰權”的概率；
2、電視臺決定，復賽票數不低于85票的選手將成為電視臺的“簽約歌手”，請填寫下面的2×2列聯表，并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成為‘簽約歌手’與選擇的導師有關？

	甲班	乙班	合計
簽約歌手
末簽約歌手
合計

下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：K²= ,其中

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）因此在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成為‘簽約歌手’與選擇的導師有關.

解析試題分析：（Ⅰ）進入決賽的選手共6名，其中擁有“優先挑戰權”的選手共3名.    2分
為擁有“優先挑戰權”的選手編號為1，2，3，其余3人編號為A，B，C.
被選中3人的編號所有可能的情況共20種，列舉如下：
123，12A，12B，12C，13A，13B，13C，1AB，1AC，1BC，
23A，23B，23C，2AB，2AC，2BC，
3AB，3AC，3BC，
ABC，              4分
其中擁有“優先挑戰權”的選手恰有1名的情況共9種，如下：
1AB，1AC，1BC，2AB，2AC，2BC，3AB，3AC，3BC，
∴所求概率為.              6分
（Ⅱ）列聯表：

	甲班	乙班	合計
簽約歌手	3	10	13
未簽約歌手	17	10	27
合計	20	20	40

9分

因此在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成為‘簽約歌手’與選擇的導師有關. 12分
考點：本題主要考查莖葉圖，古典概型概率的計算，“卡方檢驗”。
點評：典型題，統計中的抽樣方法，頻率直方圖，概率計算及分布列問題，是高考必考內容及題型。古典概型概率的計算問題，關鍵是明確基本事件數，往往借助于“樹圖法”，做到不重不漏。“卡方檢驗”問題，往往直接套用公式加以計算，對照“定值”比較，作出判斷。