Question

（2011•黑龍江一模）改革開放以來，我國高等教育事業有了突飛猛進的發展，有人記錄了某村2001到2010年十年間每年考入大學的人數．為方便計算，2001年編號為1，2002年編號為2，…，2010年編號為10．數據如下：

年份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
人數y	3	5	8	11	13	14	17	22	30	31

（1）從這10年中隨機抽取兩年，求考入大學人數至少有1年多于15人的概率；
（2）根據前5年的數據，利用最小二乘法求出y關于x的回歸方程y=

?

b

x+

?

a

，并計算第8年的估計值和實際值之間的差的絕對值．

Answer 1

分析：（1）設考入大學人數至少有1年多于15人的事件為A，這10年中有6年，考入大學人數少于15人，從而求得考入大學人數至少有1年多于15人的概率．
（2）由已知數據得

.

x

=3，

.

y

=8，再求出

n

i=1

xiyi 和

n

i=1

xi2，可得

?

b

 和

?

a

的值，利用最小二乘法求出y關于x的回歸方程y=

?

b

x+

?

a

，求出第8年的估計值再由第8年的真實值，
求得第8年的估計值和實際值之間的差的絕對值．

解答：解：（1）設考入大學人數至少有1年多于15人的事件為A，這10年中有6年，考入大學人數少于15人，
故 P(A)=1-

C 2 6

C 2 10

=

2

3

．…（4分）
（2）由已知數據得

.

x

=3，

.

y

=8，

n

i=1

xiyi=3+10+24+44+65=146，

n

i=1

xi2=1+4+9+16+25=55，…（7分）
則

?

b

=

146-5×3×8

55-5×9

=2.6，

?

a

=8-2.6×3=0.2，…（9分）
則回歸方程為y=2.6x+0.2，…（10分）
則第8年的估計值為 21人，第8年的真實值為22，
則第8年的估計值和真實值之間的差的絕對值為22-21=1．…（12分）

點評：本題主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1減去它的對立事件概率，求回歸直線的方程的方法，屬于基礎題．