Question

(2007北京崇文模擬)如果函數f(x)在區間D上有定義，且對任意都有，則稱函數f(x)是區間D上的“凹函數”．

(1)已知，決斷f(x)是否是“凹函數”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；

(2)對于(1)中的函數f(x)有下列性質：“若[a，b]，則存在使得”成立．利用這個性質證明唯一；

(3)設A、B、C是函數圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)函數f(x)是凹函數，證明如下： 設，，且，則 ． ∵ ， ，且 ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴，∴， ∴f(x)是凹函數． (2)假設，，且，使得 ，① ，② ①－②得， ∵b＞a，∴b－a≠0． ∴， ∵， 記， ∴． 是[a，b]上的單調增函數， ∴，這與矛盾，即是唯一的． (3)設，，，且，∵， ∴f(x)是xR上的單調減函數． ∴． ∵， ， ∴． ∵，，，， ∴，∴cosB＜0，∠B為鈍角． 故△ABC為鈍角三角形．