Question

已知x>，函數f(x)＝x²，h(x)＝2elnx(e為自然常數)．

(1)求證：f(x)≥h(x)；

(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立，則稱函數h(x)的圖像為函數f(x)，g(x)的“邊界”．已知函數g(x)＝－4x²＋px＋q(p，q∈R)，試判斷“函數f(x)，g(x)以函數h(x)的圖像為邊界”和“函數f(x)，g(x)的圖像有且僅有一個公共點”這兩個條件能否同時成立？若能同時成立，請求出實數p、q的值；若不能同時成立，請說明理由．

Answer 1

解析　(1)證明：記u(x)＝f(x)－h(x)＝x²－2elnx，

則u′(x)＝2x－，

令u′(x)>0，因為x>，所以x>.

所以函數u(x)在(，)上單調遞減，在(，＋∞)上單調遞增．

u(x)_min＝u()＝f()－h()＝e－e＝0，即u(x)≥0，

所以f(x)≥h(x)．

(2)由(1)知，f(x)≥h(x)對x>恒成立，當且僅當x＝時等號成立．

記v(x)＝h(x)－g(x)＝2elnx＋4x²－px－q，

則“v(x)≥0恒成立”與“函數f(x)，g(x)的圖像有且僅有一個公共點”同時成立，即v(x)≥0對x>恒成立，當且僅當x＝時等號成立．

所以函數v(x)在x＝時取極小值．

注意到v′(x)＝＋8x－p＝，

由v′()＝0，解得p＝10.

此時v′(x)＝，

由x>知，函數v(x)在(，)上單調遞減，在(，＋∞)上單調遞增，即v(x)_min＝v()＝h()－g()＝－5e－q＝0，q＝－5e，

綜上，兩個條件能同時成立，此時p＝10，q＝－5e.