Question

已知點P是直線l：ax+y=1上任意一點，直線l垂直于直線y=-x+m，EF是圓M：x²+（y-2）²=1的直徑，則

PE

•

PF

的最小值為

-

1

2

．

Answer 1

分析：數形結合，由

PE

+

PF

=2

PM

，平方可得

PE

•

PF

=

4PM2-(PE2+PF2)

2

，△PEF中，由余弦定理可得 PE²+PF²=2

PE

•

PF

+4，綜合可得

PE

•

PF

=PM²-1，由于PM的最小值是點M到直線l：x-y+1=0 的距離，為

|0-2+1|

2

=

2

2

，由此求得

PE

•

PF

的最小值．

解答：解：由兩條直線垂直的性質可得-a×（-1）=-1，解得a=-1，
故直線l：ax+y=1，即 y=x+1．
如圖所示：由題意可得M（0，2），EF=2 為直徑．
由于

PE

+

PF

=2

PM

，平方可得

PE

2+

PF

2+2

PE

•

PF

=4

PM

2，
∴

PE

•

PF

=

4 PM 2-( PE 2+ PF 2)

2

=

4PM2-(PE2+PF2)

2

  ①．
△PEF中，由余弦定理可得 EF²=4=PE²+PF²-2PE•PFcos∠EPF
=PE²+PF²-2

PE

•

PF

，
∴PE²+PF²=2

PE

•

PF

+4  ②，
把②代入①可得

PE

•

PF

=

4PM2-2 PE • PF -4

2

=2PM²-

PE

•

PF

-2，
∴2

PE

•

PF

=2 PM²-2，即

PE

•

PF

=PM²-1，故當PM最小時，

PE

•

PF

取得最小值．
由于PM的最小值是點M到直線l：x-y+1=0 的距離，為

|0-2+1|

2

=

2

2

，
故

PE

•

PF

的最小值為 PM²-1=

1

2

-1=-

1

2

．
故答案為-

1

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，直線和圓相交的性質，余弦定理的應用，屬于中檔題．