Question

已知函數f(x)=|x-a|+

4

x

(a∈R)．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）當方程f（x）=2恰有兩個實數根時，求a的值；
（3）若對于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=0時，即解不等式f(x)=|x|+

4

x

≥0，對絕對值內進行分類討論；
（2）令y1=|x-a|，y2=2-

4

x

，由函數圖象知兩函數圖象的交點情況：當a≥2時，有兩個交點；
（3）恒成立問題的解決方法，先對絕對值內進行討論，后分離出參數a，轉化為一個函數的值域問題解決．

解答：解：（1）由a=0得f(x)=|x|+

4

x

當x＞0時，f(x)=x+

4

x

≥0恒成立
∴x＞0
當x＜0時，f(x)=-x+

4

x

≥0得x≥2或x≤-2又x＜0
∴x≤-2
所以不等式f（x）≥0的解集為（-∞，-2]∪（0，+∞）（4分）

（2）由f（x）=2得|x-a|=2-

4

x

，令y1=|x-a|，y2=2-

4

x

由函數圖象知兩函數圖象在y軸右邊只有一個交點時滿足題意
由圖知，此時a=2
由圖知a=2時方程f（x）=2恰有兩個實數根（8分）
又兩曲線的交點可能都在雙曲線的左支上，此時必有a＜0
又y1=|x-a|=

x-a，x＞a a-x，x＜a

，由函數的圖象知，x＜a時，兩曲線必有一個交點，故只需要x＞a時有一個交點即可滿足題意
x＞a時，有x-a=2-

4

x

在x＜0時有根，即a+2=x+

4

x

在x＜0時成立，由基本不等式知，x＜0時x+

4

x

≤-4，等號當且僅當x=-2時取到，此時有a≤-6，滿足x＞a，故可得a≤-6
故當方程f（x）=2恰有兩個實數根時，a=2或a≤-6
（3）|x-a|+

4

x

≥1(x＞0)，
當a≤0時，x-a+

4

x

≥1(x＞0)，x+

4

x

-1≥a(x＞0)，可得a≤3，所以a≤0符合題意，
當a＞0時f(x)=

x+ 4 x -a，x≥a a-x+ 4 x ，0＜x＜a

①當x≥a時，x+

4

x

-a≥1，即a≤x+

4

x

-1，(x＞0)，
設g（x）=x+

4

x

-1
令0＜a≤2時，a≤g（2）=3，所以0＜a≤2
a＞2時，a≤g(a)=a+

4

a

-1，所以a≤3，即2＜a≤3，所以0＜a≤3
②當0＜x＜a時，-x+

4

x

+a≥1，即a≥x-

4

x

+1(x＞0)，所以a≥a-

4

a

+1，a≤4，
綜上，a的取值范圍是（-∞，4]（16分）

點評：對于含有絕對值的題目，本身就是分類的，問題的提出已包含了分類的原因．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，在高考試題中占有重要的位置．