Question

已知復數z=

1+i

1-i

+(1-i)2(i是虛數單位），b是z的虛部，且函數f（x）=log_a（2x²-bx）（a＞0且a≠1）在區間(0，

1

2

)內f(x)＞0恒成立，則函數f（x）的遞增區間是

 

．

Answer 1

分析：求出z，得出虛部為-1，即b=-1，由x的范圍求出真數部分的范圍，結合f（x）＞0，得出0＜a＜1，由復合函數的單調性，求內層函數的減區間，與真數部分大于0的x的取值范圍取交集，得要求的區間．

解答：解：∵z=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

+（-2i）=i-2i=-i，∴b=-1，
∴f（x）=log_a（2x²+x）=loga[2(x+

1

4

)2-

1

8

]，
∵x∈（0，

1

2

），∴x+

1

4

∈（

1

4

，

3

4

），∴(x+

1

4

)2∈（

1

16

，

9

16

），
∴2(x+

1

4

)2-

1

8

∈（0，1），又∵f（x）＞0，∴0＜a＜1，
∵y=2x²+x的減區間為（-∞，-

1

4

]，又2x²+x＞0得x＜-

1

2

或x＞0，
∴函數f（x）的遞增區間是（-∞，-

1

2

）．
故答案為（-∞，-

1

2

）．

點評：本題涉及的知識點有，虛數的運算，復合函數單調性的判斷方法，同增異減，本題注意對數形式的真數部分要大于0，難點要根據自變量的范圍確定出真數部分的范圍，進而判斷a的范圍，判斷出外層函數的增減性．