Question

如圖，在三棱錐中，側面與側面均為等邊三角形，，為中點．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為．

(I)由于側面SBC為等邊三角形，O為BC的中點，所以，
只需再取AC的中點M，連接SM，則根據條件易證：,
問題得證.
（II）解決本小題的關鍵是找出二面角的平面角，具體做法是取中點，連結，由（Ⅰ）知，
得．為二面角的平面角.
（Ⅰ）由題設，連結，為等腰直角三角形，
所以，且，又為等腰三角形，
，且，從而．  
所以為直角三角形，．
又．  所以平面．…………………6分
（Ⅱ）解法一：取中點，連結，由（Ⅰ）知，
得．為二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，
故．
所以二面角的余弦值為………………13分
解法二：以為坐標原點，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系．
   
設，則．
的中點，．
．
故等于二面角的平面角．……10分
，
所以二面角的余弦值為．………12分