Question

已知f（x）=mx²+3（m-4）x-9（m∈R）．
（1）試判斷函數f（x）的零點的個數；
（2）若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，求d=|x₁-x₂|的最小值；
（3）若m=1，且不等式f（x）-a＞0對x∈[0，2]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別討論m=0和m≠0兩種情況，利用一次函數和二次函數的零點判斷方法分別判斷零點個數；（2）利用韋達定理，將d=|x₁-x₂|轉化為關于m的函數，利用配方法求最值即可；（3）將所求恒成立問題轉化為求函數f（x）的最值問題，利用二次函數的單調性求函數f（x）在[0，2]上的最小值即可

解答：解：（1）當m=0時，f（x）=-12x-9，函數的零點為x=-

3

4

，即函數只有一個零點
當m≠0時，△=9（m-4）²+36m=（m-2）²+12＞0
∴函數f（x）的零點的個數為2
故當m=0時，函數f（x）的零點的個數為1；當m≠0時，函數f（x）的零點的個數為2
（2）若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，則m≠0，
x₁+x₂=

12-3m

m

，x₁•x₂=

-9

m

∴d=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

( 12-3m m ) 2+ 36 m

=12

( 1 m - 1 8 ) 2+ 3 64

≥12×

3 64

=

3 3

2

  （m=8時取等號）
∴d=|x₁-x₂|的最小值為

3 3

2

；
（3）若m=1，則f（x）=x²-9x-9
∴不等式f（x）-a＞0對x∈[0，2]恒成立，即x²-9x-9＞a對x∈[0，2]恒成立
只需f（x）在[0，2]上的最小值大于a
∵f（x）=x²-9x-9=（x-

9

2

）²-

117

4

≥f（2）=-23
∴a＜-23

點評：本題考查了一次函數與二次函數零點判斷方法，二次方程韋達定理的應用，不等式恒成立問題的解法及配方法求二次函數的最值