Question

已知數列{a_n}，S_n是其n前項的和，且滿足3a_n=2S_n+n（n∈N^*）
（1）求證：數列{a_n+

1

2

}為等比數列；
（2）記T_n=S₁+S₂+L+S_n，求T_n的表達式；
（3）記C_n=

2

3

（a_n+

1

2

），求數列{nC_n}的前n項和P_n．

Answer 1

分析：（1）由3a_n=2S_n+n知，當n≥2時，3a_n-1=2S_n-1+n-1，作差后可知a_n=3a_n-1+1，于是易證數列{a_n+

1

2

}是首項為

3

2

，公比為3的為等比數列；
（2）由（1）知a_n=

1

2

×3ⁿ-

1

2

，利用分組求和法即可求得T_n的表達式；
（3）由（2）易知C_n=3^n-1，利用錯位相減法即可求得數列{nC_n}的前n項和P_n．

解答：解：（1）∵3a_n=2S_n+n，
∴a₁=1，
當n≥2時，3（a_n-a_n-1）=2a_n+1，即a_n=3a_n-1+1，
∴a_n+

1

2

=3a_n-1+1+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

），
∴數列{a_n+

1

2

}是首項為

3

2

，公比為3的為等比數列；
（2）由（1）知，a_n+

1

2

=

3

2

•3^n-1，
∴a_n=

1

2

×3ⁿ-

1

2

，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

2

•

3(1-3n)

1-3

-

n

2

=

3

4

•3ⁿ-

1

4

（2n+3），
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n
=

3

4

（3+3²+…+3ⁿ）-

1

4

×

(5+2n+3)n

2

=

3

4

•

3(1-3n)

1-3

-

n(n+4)

4

=

9

8

（3ⁿ-1）-

n(n+4)

4

．
（3）∵C_n=

2

3

（a_n+

1

2

）=

2

3

×

1

2

×3ⁿ=3^n-1，
∴P_n=1×3⁰+2×3+3×3²+…+n•3^n-1，
∴3P_n=1×3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
兩式相減得：
-2P_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ
=

1-3n

1-3

-n•3ⁿ
=

1-2n

2

×3ⁿ-

1

2

，
∴P_n=

1+(2n-1)•3n

4

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等比關系的確定，突出考查等比數列的求和公式與錯位相減法、分組求和法的綜合應用，屬于難題．