Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是邊長是1的正方形，側棱PA與底面成45°的角，M，N，分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．
（3）直線PC與面PBD所成角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：設PD的中點為E，連NE，AE

根據三角形的中位線可知NE∥CD，且NE=CD，
∵AM∥CD，且AM=CD，
∴NE∥AM，且NE=AM，∴MN∥AE，
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）解：四棱錐P-ABCD的底面積為1，
因為PD⊥平面ABCD，側棱PA與底面成45°的角所以四棱錐P-ABCD的高為1，
所以四棱錐P-ABCD的體積為：；
（3）解：連接AC，BD，相交于點O，連接PO，則AC⊥BD
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC
又∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PBD
∴∠CPO為直線PC與面PBD所成角
∵PC=，CO=
∴PO=
∴直線PC與面PBD所成角的余弦值為
分析：（1）欲證MN∥平面PAD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內一直線平行，根據三角形的中位線可知PC∥EO，滿足定理條件；
（2）根據四棱錐P-ABCD的底面積為1，高為PD，即可求出四棱錐P-ABCD的體積；
（3）連接AC，BD，相交于點O，則可得AC⊥面PBD，故∠CPO為直線PC與面PBD所成角，由此可得結論．
點評：本小題主要考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，以及直線與平面平行的判定等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于中檔題．