Question

已知函數(shù)，
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）若關于x的方程f（x）=log₂（x-k）有實根，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）問：方程f（x）=x+1是否有實根？如果有，設為x₀，請求出一個長度為的區(qū)間（a，b），使x₀∈（a，b）；如果沒有，請說明理由。
（注：區(qū)間（a，b）的長度為b-a）

Answer 1

解：（1）由，得-1＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）；
因為f（-x）+f（x）=log₂+log₂=log₂=log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），
即f（x）是奇函數(shù)；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有實根，
也就是方程=x-k，即k=x-在（-1，1）內有解，
所以實數(shù)k屬于函數(shù)y=x-=x+1-在（-1，1）內的值域。
令x+1=t，則t∈（0，2），
因為y=t-在（0，2）內單調遞增，
所以t-∈（-∞，1），
故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，1）；
（3）設g（x）=f（x）-x-1=log₂-x-1（-1＜x＜1），
用“二分法”逐步探求，先算區(qū)間（-1，1）的中點g（0）=-1＜0；
由于g（x）在（-1，1）內單調遞減，
于是再算區(qū)間（-1，0）的中點g（-）=log₂3-＞0；
然后算區(qū)間（-，0）的中點 g（-）＜0；
最后算區(qū)間（-，-）的中點g（-）＞0，
所以g（-）·g（-）＜0，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（-，-）內有零點x₀，
即方程f（x）=x+1在（-，-）內有實根x₀，
又該區(qū)間長度為，
因此，所求的一個區(qū)間可以是（-，-）。
（答案不唯一）