Question

記函數f（x）=ln（1+x），g（x）=x．
（1）若函數F（x）=af（x）+g²（x）在x=1處取得極值，試求a的值；
（2）若函數G（x）=af（x）+g²（x）-b•g（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x1∈[-

4

5

，-

3

5

]，x2∈[0，1]，試求a的取值范圍；
（3）若函數H（x）=

1

f(x)

-

1

g(x)

對任意x₁，x₂∈[1，3]恒有|H（x₁）-H（x₂）|≤a成立，試求a的取值范圍．（參考：ln2≈0.7）

Answer 1

分析：（1）先根據F（x）=aln（x+1）+x²，求得F′（x）=

a

1+x

+2x，根據F′（1）=0，可以求出a的值；
（2）通過對G（x）求導，再研究導數的分子對應的二次函數根的分布，在aob坐標系中作出符合題意的不等式組對應的平面區域，通過求界點的方法，可找出a的取值范圍；
（3）對H（x）求導，得到一個分式函數，再研究此函數的分子對應的函數，發現此函數的最大值為零，從而得出函數H（x）在區間[0，+∞）上單調遞減，再結合題意得a≥|H（x）_max-H（x）_min|，從而得出a的取值范圍．

解答：解：（1）由F（x）=aln（x+1）+x²，可得F′（x）=

a

1+x

+2x，根
由題意得F′（1）=0，即

a

2

+2=0，故a=-4；
（2）G（x）=aln（x+1）+x²-bx   （x＞-1），
求得 G′（x）=

2x   2   +(2-b)x+(a-b)

1+x

令分子為h（x）=2x²+（2-b）x+（a-b），由題意得：

h(1)=a-2b+4≥0 h(0)=a-b≤0 h(- 3 5 ) =a- 2b 5 - 12 25 ≤0 h(- 4 5 ) =a- 1 5 b- 8 25 ≥ 0

化簡得：

a-2b+4≥0 a-b≤0 25a-10b-12≤0 25a-5b-8≥0

，

由圖可得A(

2

5

，

8

5

) ，B(

8

5

，

14

5

)，由此可得a∈[

2

5

，

8

5

]
（3）由H（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

得：H/(x)=

(1+x)ln 2(1+x)-x 2

x 2(1+x) 2ln 2(1+x)

記分子為m（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²，（x＞-1），可得m′（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
根據m′（x）的零點不難得出m（x）在區間（-1，0）上為增函數，在（0，+∞）上為減函數，
故m（x）≤m（0）=0，因此可得H′（x）≤0在區間[0，+∞）上恒成立，
所以H（x）在區間[0，+∞）上單調遞減，
故H（x）在[1，3]上單調遞減，
再由題意，可知：a≥|H（x）_max-H（x）_min|=|H（1）-H（3）|=

1

2ln2

-

2

3

所以a的取值范圍是[

1

2ln2

-

2

3

，+∞)

點評：本題考查了利用導數工具研究函數的單調性與極值，求函數在閉區間上的最值問題，同時考查了含有二次和對數函數的零點的分布問題，綜合性較強，屬于難題．利用數形結合與分類討論思想是解決本題的關鍵．