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設定義域為[0，1]的函數同時滿足以下三個條件時稱為“友誼函數”：

（1）對任意的，總有≥0；

（2）；

（3）若成立，則下列判斷正確的有     .

（1）為“友誼函數”，則；

（2）函數在區間[0，1]上是“友誼函數”；

（3）若為“友誼函數”，且0≤＜≤1，則≤.

 

【答案】

（1），（2），（3）

【解析】

試題分析：若且.則有成立.令0≤＜≤1.則（因為）.所以.所以函數f(x)是遞增函數所以（3）正確..若為“友誼函數”則要滿足且，則有成立.令.可得.又因為對任意的，總有≥0.所以f(0)=0成立.所以（1）為“友誼函數”，則正確. 函數在區間[0，1]上可得f(x) 0,f(1)=1成立.又因為是遞增的.所以函數在區間[0，1]上是“友誼函數”正確.

考點：1.函數的單調性.2.新定義的函數的性質.3.夾值法的思想證明相等.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設α∈(0，
π
2
)，函數f（x）的定義域為[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，當x≥y時，f(
x+y
2
)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．
（Ⅰ）求f(
1
2
)，f(
1
4
)；
（Ⅱ）求α的值；
（Ⅲ）求g(x)=
3
sin(α-2x)+cos(α-2x)的單調增區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設α∈(0，
π
2
)，函數f（x）的定義域為[0，1]且f（0）=0，f（1）=1當x≥y時有f（
x+y
2
）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）求f（
1
2
），f（
1
4
）；
（2）求α的值；
（3）求函數g（x）=sin（α-2x）的單調區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為[0，1]的函數f（x），若同時滿足以下三個條件：
①f（1）=1； 
②?x∈[0，1]，總有f（x）≥0； 
③當x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），則稱函數f（x）為理想函數．
（Ⅰ）若函數f（x）為理想函數，求f（0）．
（Ⅱ）判斷函數g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函數h(x)=sin
π2
x（x∈[0，1]）是否為理想函數？若是，予以證明；若不是，說明理由．
（III）設函數f（x）為理想函數，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求證：f（x0）=x0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足以下三個條件時稱f（x）為“友誼函數”：（1）對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，則下列判斷正確的有
①②③
①②③
．
①f（x）為“友誼函數”，則f（0）=0；
②函數g（x）=2x-1在區間[0，1]上是“友誼函數”；
③若f（x）為“友誼函數”，且0≤x1＜x2≤1，則f（x1）≤f（x2）．

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