Question

下列結論中正確的是 ________
①等差數列a_n的前n和為S_n，則數列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為等差數列；
②等比數列a_n的前n和為S_n，則數列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為等比數列；
③等比數列a_n的前n積為T_n，則數列：T_n，，，…為等比數列；
④等差數列a_n的前n和為S_n，若數列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為常數數列，則數列a_n的公差為0；
⑤等比數列a_n的前n和為S_n，若數列：S_2n，S_4n-S_2n，S_6n-S_4n，…為常數數列，則數列a_n的公比為1．

Answer 1

①②③④
分析：①根據等差數列的性質，推出2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），即可得到S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為等差數列；
②根據等比數列的性質，得到（S_2n-S_n）²與S_n•（S_3n-S_2n）相等，得到S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…是等比數列；
③根據等比數列的前n項和的公式及等比數列的性質，得到=T_n•，所以此數列為等比數列；
④根據等差數列的前n項和的公式及等差數列的性質，得到2（S_2n-S_n）=S_n•（S_3n-S_2n），即可求出公差d的值；
⑤根據等比數列的前n項和的公式及等比數列的性質，得到（S_4n-S_2n）²與S_2n•（S_6n-S_4n）相等，即可求出公比q的值．
解答：①設等差數列a_n的首項為a₁，公差為d，
則S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，
同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，
∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差數列．此選項正確；
②設等比數列的首項為a₁，等比為q，
則S_n=，S_2n-S_n=-=，同理S_3n-S_2n=，
所以（S_2n-S_n）²=S_n（S_3n-S_2n），得到此數列為等比數列，此選項正確；
③T_n=a₁a₂…a_n，=a_n+1a_n+2…a_2n=（a₁a₂…a_n），=a_2n+1a_2n+2…a_3n=（a_n+1a_n+2…a_2n），
所以=T_n•，所以此數列為等比數列，此選項正確；
④因為數列：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為常數數列，設S_n=a，則S_2n-S_n=a，解得：S_2n=2a，
而2S_n=2na₁+d，S_2n=2na₁+d，所以解得d=0，此選項正確；
⑤若數列：S_2n，S_4n-S_2n，S_6n-S_4n，…為常數數列，設S_2n=b，則S_4n-S_2n=b，解得S_4n=2b，
假如公比q=1，得到數列不為常數列，所以公比q不可能為1，此選項錯，
所以結論正確的序號有：①②③④
故答案為：①②③④
點評：此題考查學生靈活運用等差、等比數列的性質化簡求值，是一道綜合題．