Question

已知集合A的元素全為實數，且滿足：若a∈A，則

1+a

1-a

∈A．
（1）若a=-3，求出A中其它所有元素；
（2）0是不是集合A中的元素？請你設計一個實數a∈A，再求出A中的所有元素？
（3）根據（1）（2），你能得出什么結論．

Answer 1

分析：（1）把a=-3代入

1+a

1-a

，得出數值后再代入該式，直至數字重復出現；
（2）把0代入后驗證，結果出現1，而1在分母無意義，第二步可以嘗試一個盡量與1、-1、1無關的實數驗證；
（3）分析（1）（2）中的四個值得特點得出結論．

解答：解：（1）由a=-3，則

1+a

1-a

=

1-3

1-(-3)

=-

1

2

，
因為-

1

2

∈R，所以

1+(- 1 2 )

1-(- 1 2 )

=

1

3

，
又

1

3

∈R，所以

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
2∈R，所以

1+2

1-2

=-3，以下循環出現，
所以a=-3時，集合A中其它所有元素為：-

1

2

，

1

3

，2；
（2）若0∈A，則

1+0

1-0

=1∈A，繼續把1代入

1+a

1-a

，該式無意義，所以0不是集合A的元素，
取a=3，則

1+a

1-a

=

1+3

1-3

=-2，
-2∈R，所以

1+(-2)

1-(-2)

=-

1

3

，

1

3

∈R，所以

1+(- 1 3 )

1-(- 1 3 )

=

1

2

，

1

2

∈R，則

1+ 1 2

1- 1 2

=3，
以下循環，所以3是集合A中的元素；
（3）由（1）（2）得出：集合A中有四個元素，其中每兩個元素互為負倒數，且四個元素的積為1．

點評：本題考查了元素與集合關系的判斷，是一個探究性與規律性的問題，解答的關鍵是計算仔細，分析特點找規律．