Question

已知直線，圓O：＝36（O為坐標原點），橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等。

（I）求橢圓C的方程；（II）過點（3,0）作直線l，與橢圓C交于A，B兩點設（O是坐標原點），是否存在這樣的直線l，使四邊形為ASB的對角線長相等？若存在　，求出直線l的方程，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵圓心O到直線的距離為，

直線l被圓O截得的弦長2a=,∴a=2,

又，解得，

∴橢圓C的方程為：;                              ………4分

（Ⅱ）∵,∴四邊形OASB是平行四邊形．

假設存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線長相等,

則四邊形OASB為矩形，因此有,

設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），則．                   ………7分

直線l的斜率顯然存在，設過點（3,0）的直線l方程為：，

由，得，     

由，即．

………9分

                ,

由得：，滿足Δ>0．      ………12分

故存在這樣的直線l,其方程為．               ………13分