Question

（2012•肇慶二模）若對于定義在R上的函數f（x），其函數圖象是連續的，且存在常數λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意的實數x成立，則稱f（x）是“λ-同伴函數”．下列關于“λ-同伴函數”的敘述中正確的是（　　）

• A．“

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  2

  -同伴函數”至少有一個零點
• B．f（x）=x²是一個“λ-同伴函數”
• C．f（x）=log₂x是一個“λ-同伴函數”
• D．f（x）=0是唯一一個常值“λ-同伴函數”

Answer 1

分析：令x=0，可得f(

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)=-

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f(0)．若f（0）=0，f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f(

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)•f(0)=-

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(f(0))2＜0．可得f（x）在(0，

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)上必有實根，可判斷A
假設f（x）=x²是一個“λ-同伴函數”，則（x+λ）²+λx²=0，則有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判斷B
因為f（x）=log₂x的定義域不是R可判斷C
設f（x）=C則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，可判斷D

解答：解：令x=0，得f(

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)+

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f(0)=0．所以f(

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)=-

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f(0)．若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f(

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)•f(0)=-

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(f(0))2＜0．又因為f（x）的函數圖象是連續不斷，所以f（x）在(0，

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)上必有實數根．因此任意的“

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-同伴函數”必有根，即任意“

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-同伴函數”至少有一個零點．：A正確，
用反證法，假設f（x）=x²是一個“λ-同伴函數”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-同伴函數”．B錯誤
因為f（x）=log₂x的定義域不是R．C錯誤
設f（x）=C是一個“λ-同伴函數”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-同伴函數”．D錯誤，

點評：本題考查的知識點是函數的概念及構成要素，函數的零點，正確理解f（x）是λ-同伴函數的定義，是解答本題的關鍵．