Question

（本小題滿分12分）

    已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、、 在直線上的射影依次為點(diǎn)、、．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l交y軸于點(diǎn)，且，當(dāng)變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（3）連接、，試探索當(dāng)變化時，直線與是否相交于定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

(1)

(2)

(3)

【解析】解：（Ⅰ）易知橢圓右焦點(diǎn)∴，

    拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)

    橢圓的方程

    （Ⅱ）易知，且與軸交于，

    設(shè)直線交橢圓于

    由

    ∴

    ∴

    又由

       同理

    ∴

    ∵               

    ∴

    所以，當(dāng)變化時， 的值為定值；

    （Ⅲ）先探索，當(dāng)時，直線軸，

    則為矩形，由對稱性知，與相交的中點(diǎn)，且，

    猜想：當(dāng)變化時，與相交于定點(diǎn)

    證明：由（Ⅱ）知，∴

    當(dāng)變化時，首先證直線過定點(diǎn)，

    方法1）∵

    當(dāng)時，

   

    ∴點(diǎn)在直線上，

    同理可證，點(diǎn)也在直線上；

    ∴當(dāng)變化時，與相交于定點(diǎn)

    方法2）∵，

   

   

    ∴，∴、、三點(diǎn)共線，同理可得、、也三點(diǎn)共線；

    ∴當(dāng)變化時，與相交于定點(diǎn)