Question

在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為２，寬為１，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如下圖所示）.將矩形折疊，使A點落在線段DC上.

（1）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；

（2）求折痕的長的最大值.

Answer 1

解：（1）①當k=0時,此時A點與D點重合,折痕所在的直線方程y=.

②當k≠0時，設A點落在線段DC上的點A′(x₀,1)，

(0≤x₀≤2),則直線OA′的斜率k_OA′=,

∵折痕所在直線垂直平分OA′,

∴k_OA′·k=-1,

∴·k=-1,∴x₀=-k.

又∵折痕所在的直線與OA′的交點坐標（線段OA′的中點）

為M(, )，

∴折痕所在的直線方程y-=k(x+)，即y=kx++，

由①②得折痕所在的直線方程為：y=kx++(-2≤k≤0).

（2）折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為E(0,),F(,0).

由（1）知，k=-x₀，

∵0≤x₀≤2，∴-2≤k≤0,

設折痕長度為d，所在直線的傾斜角為θ,

①當k=0時，此時A點與D點重合,折痕的長為2；

②當-2≤k＜0時，

設a=，b=,

0＜a≤|AB|=2時，l與線段AB相交，此時-2≤k≤-2+，

a＞|AB|=2時，l與線段BC相交，此時-2+＜k＜0,

0＜b≤1時，l與線段AD相交，此時-1≤k＜0,

b＞1時，l與線段DC相交，此時-2≤k＜-1,

∴將k所在的區間分為３個子區間：

a.當-2≤k＜-1時，折痕所在的直線l與線段DC、AB相交，

折痕的長d=,

∴≤d＜,

b.當-1≤k≤-2+時，折痕所在的直線l與線段AD、AB相交，

折痕的長d=,

令g′(x)≥0,即k³+≥0,

即2k⁶+3k⁴-1≤0,

即（k²+1）²(k²-)≤0.

∵-1≤k≤-2+,

∴解得≤k≤-2+,

令g′(x)≤0,解得-1≤k≤,

故當-1≤k≤時，g(x)是減函數；當≤k≤-2+時，g(x)是增函數，

∵g(-1)=2,g(-2+)=4(8-4),

∴g(-1)＜g(-2+),

∴當k=-2+時，g(-2+)=4(8-4).

d=.

∴當-1≤k≤-2+時，d≤；

c.當-2+＜k＜0時，折痕所在的直線l與線段AD、BC相交，

折痕的長d=,

∴2＜l＜,即2＜l＜2(),

綜上所述得，當k=-2+3時，折痕的長有最大值，最大值為2().