Question

（本小題滿分14分）已知關于x的函數f(x)＝＋bx²＋cx＋bc，其導函數為f⁺(x)。令g(x)＝∣f⁺(x) ∣，記函數g(x)在區間[-1、1]上的最大值為M。

（Ⅰ）如果函數f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值；

（Ⅱ）若∣b∣>1，證明對任意的c，都有M>2；

（Ⅲ）若M≥K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

Answer 1

（Ⅰ），

（Ⅱ）證明見解析。

（Ⅲ）

解析:

本小題主要考查函數、函數的導數和不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理論證的能力和份額類討論的思想（滿分14分）。

（I）解：，由在處有極值，

可得，

解得，或。

若，則，此時沒有極值；

若，則，

當變化時，，的變化情況如下表：

				1
		0	+	0
		極小值		極大值

當時，有極大值，故，即為所求。

（Ⅱ）證法1：，

當時，函數的對稱軸位于區間之外。

在上的最值在兩端點處取得，

故應是和中較大的一個，

即。

證法2（反證法）：因為，所以函數的對稱軸位于區間之外，

在上的最值在兩端點處取得。

故應是和中較大的一個。

假設，則

，將上述兩式相加得：

，導致矛盾，。

（Ⅲ）解法1：，

（1）當時，由（Ⅱ）可知；

（2）當時，函數）的對稱軸位于區間內，

此時

由有

①若則，

于是

②若，則

于是

綜上，對任意的、都有

而當時，在區間上的最大值

故對任意的、恒成立的的最大值為。

解法2：

（1）當時，由（Ⅱ）可知；

（2）當時，函數的對稱軸位于區間內，

此時

，即

下同解法1