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已知f(x)=
x
+
1
x
+
x+
1
x
+1
及g(x)=
x
+
1
x
-
x+
1
x
+1
．
（1）分別求f（x）、g（x）的定義域，并求f（x）•g（x）的值；（2）求f（x）的最小值并說明理由；
（3）若a=
x2+x+1
 ， b=t
x
 ， c=x+1，是否存在滿足下列條件的正數t，使得對于任意的正
數x，a、b、c都可以成為某個三角形三邊的長？若存在，則求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．
分析：（1）利用被開放數大于0可求函數的定義域，直接相乘化簡即可；   
（2）先考慮
x
+
1
x
≥2，再說明函數y=
x
+
1
x
與y=
x+
1
x
+1
在（-∞，1]上均為減函數，在[1，+∞）上均為增函數，從未求出函數的最小值．
（3）利用構成三角形的條件，轉化為恒成立問題利用（1）（2）的結論可確定．
解答：解：（1）f（x）、g（x）的定義域均為（0，+∞）；…（2分）
   f(x)•g(x)=( 
x
+
1
x
 )2-( x+
1
x
+1 )=1．…（4分）
（2）∵
x
+
1
x
≥2，∴( 
x
+
1
x
 )2≥4⇒x+
1
x
≥2．…（7分）
易知函數y=
x
+
1
x
與y=
x+
1
x
+1
在（-∞，1]上均為減函數，在[1，+∞）上均為增函數，
∴f(x)min=f(1)=2+
3
．…（10分）
（3）∵a=
x2+x+1
＜x+1=c，…（11分）
∴若能構成三角形，只需
x2+x+1
+t
x
＞x+1
x2+x+1
+(x+1)＞t
x
⇒
t＞
x
+
1
x
-
x+
1
x
+1
t＜
x
+
1
x
+
x+
1
x
+1
恒成立．…（13分）
由（1）知，f(x)•g(x)=1⇒g(x)=
1
f(x)
，
∵f(x)≥2+
3
，∴g(x)=
1
f(x)
≤2-
3
，即t＞2-
3
．…（15分）
由（2）知，f(x)≥2+
3
，∴t＜2+
3
．…（17分）
綜上，存在t∈( 2-
3
 ， 2+
3
 )，滿足題設條件．…（18分）
點評：本題主要考查利用函數單調性求函數的最值，將是否存在性問題轉化為恒成立問題時解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
x+1，x∈[-1，0)
x2+1，x∈[0，1]
，則下列函數的圖象錯誤的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若數學公式，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間數學公式上的值域為數學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：模擬題 題型：解答題

已知f(x)=(x∈R)在區間[-1，1]上是增函數，
（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2，試問：是否存在實數m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源：福建省高考真題 題型：解答題

已知f(x)=(x∈R)在區間[-1，1]上是增函數，
（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2，試問：是否存在實數m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

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