Question

已知a≥0，若函數f（x）=

(x+a)2

x2+1

在[-1，1]上為增函數，則a的取值集合為

 

_．

Answer 1

分析：可以求出函數f（x）=

(x+a)2

x2+1

導數，令其大于等于0在[-1，1]上恒成立，依據情況作出判斷即可

解答：解：由題意f′（x）=

2(x+a)(x2+1)-2x(x+a)2

(x2+1)2

=

2x-2a2x-2ax2+2a

(x2+1)2

∵a≥0，若函數f（x）=

(x+a)2

x2+1

在[-1，1]上為增函數，
∴2x-2a²x-2ax²+2a＞0在[-1，1]上恒成立
由于y=2x-2a²x-2ax²+2a是開口向下的二次函數
故有y（1）＞0，y（-1）＞0
∴

2-2a2-2a +2a＞0 -2+2a2-2a +2a＞0

即

2-2a2＞0 -2+2a2＞0

即a²=2，故a=1
a的取值集合為{1}
故答案為{1}

點評：本題考查函數的單調性與導數的關系，求解本題的關鍵是將函數為增函數的性質轉化為不等式，再根據二次函數的性質轉化為關于參數的不等式，判斷出參數的值．本題考查了推理判斷的能力，尤其是最后得到參數的值的判斷，比較抽象，易錯，學習時要注意積累這方面的經驗．