Question

已知幾何體A―BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求此幾何體的體積V的大小;

（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；

（3）試探究在DE上是否存在點Q，使得AQBQ并說明理由（一、二、五中必做，其它學校選做）.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（1）由該幾何體的三視圖知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴

∴．

即該幾何體的體積V為16．      -----------3分

（2）解法1:過點B作BF//ED交EC于F，連結AF，

則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．-------5分

在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．

∴．

即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．------------------------------------------7分

解法2：以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴，∴ 

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．

（3）解法1:在DE上存在點Q，使得AQBQ.--------------------------------------------------8分

取BC中點O，過點O作OQ⊥DE于點Q，則點Q滿足題設.

連結EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中

∵    ∴∽    ∴

∵  ∴   ∴．-----------------10分

∵,

∴

∴以O為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切．切點為Q

∴

∵面,面  ∴ ∴面 

∵面ACQ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

∴．-------------------------------------------------------------------------12分

解法2: 以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．

設滿足題設的點Q存在,其坐標為（0，m，n），則

，

∵AQBQ    ∴ ----------------------------①

 ∵點Q在ED上，∴存在使得

∴-----------②

②代入①得，解得

∴滿足題設的點Q存在，其坐標為