Question

（1）．已知函數y=x+

16

x+2

（x＞-2），求此函數的最小值．
（2）已知x＜

5

4

，求y=4x-1+

1

4x-5

的最大值；
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20，求xy的最大值；
（4）已知x，y∈R⁺且x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

分析：當題中遇到形如a+

1

a

的結構或ab與a+b的互化問題時基本不等式是解決問題較好的方法，所以本題可以嘗試用基本不等式解題．
（1）函數可化為：y=x+

16

x+2

=（x+2）+

16

x+2

-2
（2）函數可化為：y=4x-1+

1

4x-5

=（4x-5）+

1

4x-5

+4（需注意x＜

5

4

時，4x-5＜0所以要變號）
（3）20=5x+7y≥2

(5x)×(7y)

，則xy≤

400

4×35

=

20

7

（4）因為x，y∈R⁺且x+2y=1，所以

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（x+2y）=3+

2y

x

+

x

y

≥2

2y x × x y

+3=3+2

2

解答：解：（1）函數y=x+

16

x+2

=（x+2）+

16

x+2

-2≥2

(x+2)× 16 x+2

-2=6，
當且僅當x+2=

16

x+2

時等號成立，即x=2時取最小值為6（x＞-2）
（2）））∵x＜

5

4

∴4x-5＜0
∴y=4x-1+

1

4x-5

=（4x-5）+

1

4x-5

+4
=-[-（4x-5）-

1

4x-5

]+4≤-2

(5-4x)× 1 5-4x

+4=2
當且僅當4x-5=

1

4x-5

時等號成立，即x=1時取最大值為2．
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20∴20=5x+7y≥2

(5x)×(7y)

；∴xy≤

400

4×35

=

20

7

當且僅當5x=7y時等號成立，即x=2，y=

10

7

時取最大值為

20

7

（4）

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（x+2y）=3+

2y

x

+

x

y

≥2

2y x × x y

+3=3+2

2

（x=

2

-1，y=1-

2

2

），
當且僅當

2y

x

=

x

y

時等號成立，即x=

2

-1，y=1-

2

2

時取最大值為3+2

2

．

點評：基本不等式a+b≥2

ab

；，（a＞0，b＞0）是不等式問題中考查的重點之一，在用基本不等式求最值時要注意以下幾點：
1、正：即a＞0，b＞0，2、定：即a+b或ab是定值，3、等：即當且僅當a=b時等號成立，能取到最值．