Question

(2007湖南，19)如圖所示，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區O的公路．點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ(0°＜θ＜90°)，且，點P到平面α的距離PH=0.4(km)．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用．從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km．當山坡上公路長度為lkm(1≤l≤2)時，其造價為萬元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5(km)，．

(1)在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小：

(2)對于(1)中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小；

(3)在AB上是否存在兩個不同的點、，使沿折線修建公路的總造價小于(2)中得到的最小總造價，證明你的結論．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如圖PH⊥α，，PB⊥AB，由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB，所以∠PBH是山坡面與α所成二面角的平面角，則∠PBH=θ，． 設BD=x(km)，0≤x≤1.5，則．記總造價為萬元．據題設有 當，即時總造價最小． (2)設AE=y(km)，，總造價為萬元，根據題設有． 則，由，得y=1． 當時，，在(0，1)內是減函數； 當時，，在內是增函數． 故當y=1，即AE=1(km)時總造價最小，且最小總造價為萬元． (3)不存在這樣的點、．事實上，在AB上任取不同的兩點、．為使總造價最小，顯然不能位于與B之間．故可設位于與A之間，且，，，總造價為S萬元，則．類似于(1)(2)的討論知，，，當且僅當，同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時，，S取得最小值，點、分別與點D、E重合．所以不存在這樣的點、，使沿折線修建公路的總造價小于(2)中得到的最小總造價．