Question

如圖，在半徑為R、圓心角為

π

3

的扇形金屬材料中剪出一個長方形EPQF，并且EP與∠AOB的平分線OC平行，設∠POC=θ．
（1）試寫出用θ表示長方形EPQF的面積S（θ）的函數．
（2）現用EP和FQ作為母線并焊接起來，將長方形EFPQ制成圓柱的側面，能否從△OEF中直接剪出一個圓面作為圓柱形容器的底面？如果不能請說明理由．如果可能，求出側面積最大時容器的體積．

Answer 1

分析：（1）求長方形EPQF的面積，在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ；易得PC，OC；從而求得EF，EP；
（2）制成圓柱的底面周長為EF，半徑可求，△OEF的內切圓半徑可求，兩半徑比較得出結論．
由長方形EPQF制成圓柱的側面面積為 S（θ），由三角函數的運算與性質，可以求出最大值，此時θ=

π

12

；
當θ=

π

12

時，求出圓柱體的體積即可．

解答：解：如圖，（1）在長方形EPQF中，EF=PQ=2PC=2Rsinθ，
EP=Rcosθ-EF•sin60°=Rcosθ-2Rsinθ•

3

2

=Rcosθ-

3

Rsinθ；
所以長方形EPQF的面積為：S（θ）=EF•EP=2Rsinθ（Rcosθ-

3

Rsinθ）．
（2）依題意制成圓柱的底面周長l=EF=2Rsinθ，則其半徑為r_底=

Rsinθ

π

，
在△OEF中，EF=OE=OF=2Rsinθ，
故內切圓半徑r_內=

3

3

Rsinθ，而

3

3

Rsinθ＞

Rsinθ

π

，即r_內＞r_底；
所以能從△OEF中直接剪出一個圓面作為圓柱形容器的底面．
由長方形EPQF制成圓柱的側面，面積為；
  S（θ）=2R²sinθcosθ-2

3

R²sin²θ
=R²•sin2θ-

3

•R²•（1-cos2θ）
=R²•（sin2θ+

3

cos2θ）-

3

R2
=R²•2sin(2θ+

π

3

)-

3

R2，(0＜θ＜

π

6

)；
當2θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

12

時，側面積S（θ）取得最大值，
此時圓柱的體積為：V=S_底•h=π•(

Rsinθ

π

)2•(R•cosθ-

3

R•sinθ )
=

R3

π

•sin貕(cosθ-

3

sinθ)=

R3

π

•

1-cos2θ

2

•2cos(θ+

π

3

)
=

R3

π

•

1-cos π 6

2

•2cos

5π

12

=

R3

π

•

1- 3 2

2

•2•

6 - 2

4

=

(3 6 -5 2 ) R3

8π

．

點評：本題用柱體的側面積和體積作為載體，重點考查了三角函數的運算與性質，求側面積 S（θ）的最大值和柱體的體積時，考查了兩角和與差的運算，且運算量較大，是易錯題．