Question

①求由曲線y=

x

，直線y=2-x，y=-

1

3

x圍成的圖形的面積．
②求由y=sinx，直線x=

π

2

，x=π，x軸圍成的區域繞x軸旋轉一周所得幾何體的體積？

Answer 1

分析：①根據定積分的應用求面積即可．
②根據旋轉體的體積公式與積分之間的關系進行求解即可．

解答：解：①區域對應的圖形如圖：
由

y= x y=2-x

．解得x=1或x=4（舍去），即A點的橫坐標為1，
由

y=2-x y=- 1 3 x

，解得x=3，BA點的橫坐標為3，
∴所求區域的面積為

∫

1 0

[

x

-(-

1

3

x)]dx+

∫

3 1

[2-x-(-

1

3

x)]dx
=（

2

3

x

3

2

+

1

6

x2）|

1 0

+（2x-

1

3

x2）|

3 1

=

2

3

+

1

6

+(2×3-

1

3

×32-2+

1

3

)=2+

1

6

=

13

6

．
②根據旋轉體的體積公式可知所求體積為V=

∫

π π 2

(sin2x)dx=

∫

π π 2

(

1-cos2x

2

)dx=

∫

π π 2

1

2

dx+

1

2

∫

π π 2

cos2xdx
=

1

2

x|

π π 2

+

1

2

×

1

2

sin2x|

π π 2

=

1

2

×(π-

π

2

)+

1

4

(sin2π-sinπ)=

1

2

×

π

2

=

π

4

．

點評：本題主要考查積分的應用，利用積分可以求區域面積，對函數平方求積分即可求旋轉體的體積，難度較大，旋轉體的體積公式為

∫

b a

f2(x)dx．