Question

設函數，曲線在點（2，（2））處的切線方程為

（Ⅰ）求的解析式：

（Ⅱ）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為一值，并求此定值。

Answer 1

解：（Ⅰ）方程可化為，

當時，， 又

于是，解得。

故。

（Ⅱ）設為曲線上任一點，由知曲線在點處的切線方程為

       ，

即

令得，從而得切線與直線的交點坐標為。

令得，從而得切線與直線的交點坐標為。

所以點處的切線與直線，所圍成的三角形的面積為

故曲線上任一點處的切線與直線，所圍成的三角形的面積為定值，此值為6。