Question

已知曲線C：

y2

m

+x²=1；
（1）由曲線C上任一點E向x軸作垂線，垂足為F，點P在

EF

上，且 

EP

=-

1

3

PF

．問：點P的軌跡可能是圓嗎？請說明理由；
（2）如果直線l的斜率為

2

，且過點M（0，-2），直線l交曲線C于A，B兩點，又

MA

•

MB

=-

9

2

，求曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）由于 

EP

=-

1

3

PF

而點E在曲線C上F點也易求故可用點P的坐標表示E點的坐標再將E點的坐標代入曲線C的方程化簡整理再討論即可．
（2）根據題中的條件易求直線L的方程：y=

2

x-2而求曲線C的方程即求m故需利用題中條件

MA

•

MB

=-

9

2

這需用點M，A，B的坐標求出

MA

，

MB

故須設出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即可求出

MA

•

MB

=x1x2+(y1+2)(y2+2)=3x₁x₂故需直線方程y=

2

x-2與曲線C：

y2

m

+x²=1聯立求出x₁x₂代入求出m即可得解．

解答：解：（1）設E（x₀，y₀），P（x，y）則F（x₀，0）
∵

EP

=-

1

3

PF

∴(x-x0，y-y0)=-

1

3

(x0-x，-y)
∴

x0=x y0= 2 3 y

代入

y02

m

+x02=1中，得

4y2

9m

+x2=1為P點軌跡方程．
    當m=

4

9

時軌跡是圓．
（2）由題設知直線的方程為y=

2

x-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯立方程組可得

y= 2 x-2 y2 m +x2=1

     消去y得：（m+2）x²-4

2

x+4-m=0
∵方程有兩解
∴m+2≠0且△＞0
∴m＞0或m＜0且m≠-2
∵

MA

=(x1， y1)，

MB

=(x2，y2+2)而

MA

•

MB

=x1x2+(y1+2)(y2+2)=3x₁x₂
∵x1x2=

4-m

m+2

且

MA

•

MB

=-

9

2

∴

4-m

m+2

= -

3

2

∴m=-14∴曲線C的方程是x2-

y2

14

= 1

點評：本題考查了向量與圓錐曲線的綜合．第一問著重考查了利用向量相等和相關點法求動點的軌跡方程這是求軌跡方程中經常用到的一種方法．第二問著重考查了利用向量的數量積的坐標計算及方程聯立后利用根與系數的關系求參數m的值，求解此問的關鍵是求出的m的值須使聯立方程后的方程：（m+2）x²-4

2

x+4-m=0有兩個不相等的實根即需在m＞0或m＜0且m≠-2的范圍內！