Question

如圖，一個熟雞蛋的軸截面由半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）與半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1（x＜0）合成（其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0）．設點F₀，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁、A₂和B₁、B₂是軸截面與x，y軸的交點，陰影部分是蛋黃（球形）軸截面，若蛋黃的體積是

π

6

，F₁，F₂在蛋黃球面上，△F₀F₁F₂是等邊三角形，則a，b的值分別為（　�。�

• A、5，3
• B、

  3

  ，1
• C、

  7

  2

  ，1
• D、5，4

Answer 1

分析：由題意知|F₁F₂|=|F₁F₀|=|F₂F₀|=2

b2-c2

，

c

2 b2-a2

=cos30°，b=

2 3

3

c，再由蛋黃的體積是

π

6

，F₁，F₂在蛋黃球面上，知

4

3

π(

b2-a2

)3=

π

6

，由此可求出a和b．

解答：解：由題意知|F₁F₂|=|F₁F₀|=|F₂F₀|=2

b2-c2

，
∴

c

2 b2-a2

=cos30°，
∴b=

2 3

3

c∵蛋黃的體積是

π

6

，F₁，F₂在蛋黃球面上，
∴R=

b2-a2

，
∴

4

3

π(

b2-a2

)3=

π

6

，∴b²-c²=

1

4

，
∴

12

9

c2-c2=

1

4

，c2=

3

4

，b2=1，a2=

7

4

，
故a=

7

2

，b=1，
故選C．

點評：本題巧妙地把兩個橢圓合二為一，具有一定的難度，解題時要熟練掌握橢圓的性質和公式．