Question

如圖所示，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上．當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，直線AB的斜率為定值．這個定值為

-1

．

Answer 1

分析：設直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB，則可分別表示k_PA和k_PB，根據傾斜角互補可知k_PA=-k_PB，進而求得y₁+y₂的值，把A，B代入拋物線方程兩式相減后即可求得直線AB的斜率．

解答：解：設直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB，
則k_PA=

y1-2

x1-1

（x₁≠1），k_PB=

y2-2

x2-1

（x₂≠1），
∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，
∴k_PA=-k_PB，
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線上，得y₁²=4x₁（1）
y₂²=4x₂（2），
∴

y1-2

y12 4 -1

=-

y2-2

y22 4 -1

，
∴y₁+2=-（y₂+2）
∴y₁+y₂=-4
由（1）-（2）得直線AB的斜率

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=-1．
故答案為：-1．

點評：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．