Question

已知動點M到點F（1，0）的距離比它到y軸的距離大1個單位長度．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過點F任意作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，分別交曲線C于點A、B和M、N，設線段AB、MN的中點分別為P、Q，求證：直線PQ恒過一個定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動點M的坐標為（x，y），根據動點M到點F（1，0）的距離比它到y軸的距離大1個單位長度，建立方程，化簡可得點M的軌跡C的方程；
（2）設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點P的坐標為（， ），可設直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），與拋物線方程聯立，利用韋達定理可求點P的坐標為（1+，），同理可得點的坐標為（1+2k²，-2k），進而可確定直線PQ的方程，即可得到結論．
解答：（1）解：設動點M的坐標為（x，y），
由題意，∵動點M到點F（1，0）的距離比它到y軸的距離大1個單位長度
∴
化簡得y²=4x，
所以點M的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）證明：設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點P的坐標為（， ）．
由題意可設直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），
由得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，x₁+x₂=2+，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=．
所以點P的坐標為（1+，）．
由題知，直線l₂的斜率為-，同理可得點的坐標為（1+2k²，-2k）．
當k≠±1時，有1+≠1+2k²，此時直線PQ的斜率k_PQ=．
所以，直線PQ的方程為y+2k= （x-1-2k²），
整理得yk²+（x-3）k-y=0，于是，直線PQ恒過定點E（3，0）；
當k=±1時，直線PQ的方程為x=3，也過點E（3，0）．
綜上所述，直線PQ恒過定點E（3，0）．
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系和綜合應用，具有一定的難度，解題的關鍵是直線與拋物線的聯立，確定直線PQ的方程．