Question

在實數集R上定義運算：

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若在R上是減函數，求實數a的取值范圍；

（Ⅲ）若，在的曲線上是否存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）.

（III）的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直.

【解析】

試題分析：（I）由新定義計算即得，關鍵是理解“新運算”的意義；

（II）根據時，在減函數，得到對于恒成立，

即恒成立，得到.

屬于常規題目，難度不大，主要是注意應用“轉化與化歸思想” .

（III）假定是曲線上的任意兩點，如果存在互相垂直的切線，則有

.因此，只需研究是否成立即可.

試題解析：（I）由題意，              2分

            4分

（II）∵，      6分

當時，在減函數，

∴對于恒成立，即

恒成立，             8分

∵，

∴恒成立，

∴，

∴.                    9分

（III）當時，，

設是曲線上的任意兩點，

∵，              11分

∴，

∴不成立.            12分

∴的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直.    13分

考點：新定義，導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性