Question

正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝A1A，D為C1C的中點(diǎn)，O為A1B與AB1的交點(diǎn)．

(1)求證：AB1⊥平面A1BD；

(2)若點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，求證：EC∥平面A1BD.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】證明：(1)連結(jié)DA、DB1、DO.

∵AB＝A1A，D為C1C的中點(diǎn)，

而DB1＝，DA＝，∴DB1＝DA.

又O是正方形A1ABB1對(duì)角線的交點(diǎn)，∴DO⊥AB1.

又A1B⊥AB1，A1B∩DO＝O，∴AB1⊥平面A1BD.

(2)取A1O的中點(diǎn)F，在△A1OA中，

∵E是OA中點(diǎn)，∴EF∥= AA1.

又D為C1C的中點(diǎn)，∴CD∥= AA1.

∴EF∥=CD，故四邊形CDFE是平行四邊形．∴CE∥DF.

又DF平面A1BD，CE平面A1BD，∴EC∥平面A1BD.