Question

某醫藥研究所開發的一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線．
（1）寫出第一次服藥后y與t之間的函數關系式y=f（t）；
（2）據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于1微克時，治療有效．服藥后多少小時開始有治療效果？治療效果能持續多少小時？（精確到0.1，參考數據：lg2=0.301）

Answer 1

解：（1）由題意，當0≤t≤1時，函數圖象是一個線段，
由于過原點與點（1，4），故其解析式為y=4t，0≤t≤1；
當t≥1時，函數的解析式為y=a（0.8）^t，
此時M（1，4）在曲線上，將此點的坐標代入函數解析式得4=0.8a，解得a=5
故第一次服藥后y與t之間的函數關系式y=f（t）=；
（2）由題意，令f（t）≥1，
即4t≥1，解得t≥0.25，
5（0.8）^t≥1，解得t≤log_0.80.2==≈7.2
7.2-0.25=6.95
∴服藥后0.25小時開始生效，治療效果能夠持續約7小時．
分析：（1）由函數圖象我們不難得到這是一個分段函數，第一段是正比例函數的一段，第二段是指數型函數的一段，由于兩段函數均過M（1，4），故我們可將M點代入函數的解析式，求出參數值后，即可得到函數的解析式．
（2）由（1）的結論我們將函數值1代入函數解析式，構造不等式，可以求出每毫升血液中含藥量不少于1微克時的起始時刻和結束時刻，他們之間的差值即為服藥一次治療疾病有效的時間．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及分段函數求解析式和指數不等式的求解，同時考查了計算能力，屬于中檔題．