Question

已知向量

p

=(2cosωx+2sinωx，f(x))，

q

=(1，cosωx)，ω＞0且

p

∥

q

，函數f（x）圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離是2π．
（1）求ω值；
（2）求函數f（x）的單調遞減區間；
（3）設函數g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），若g（x）為偶函數，求g（x）的最大值及相應的x值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的平行，通過向量的坐標運算，二倍角公式以及兩角和與差的三角函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過函數的周期求ω值；
（2）利用增函數的單調性直接求解函數f（x）的單調遞減區間；
（3）設函數g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），求出g（x）的表達式，利用函數是偶函數，求出，然后求解g（x）的最大值及相應的x值．

解答：解：（1）∵

p

∥

q

，∴（2cosωx+2sinωx）cosωx-f（x）=0
得f（x）=（2cosωx+2sinωx）cosωx
=2cos²ωx+2sinωxcosωx
=1+cos2ωx+sin2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+1…（3分）
由題設可知，函數f（x）的周期T=4π，則ω=

1

4

…（4分）
（2）由（1）得f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)+12kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，其中k∈Z
∴函數f（x）的單調減區間是[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]（k∈Z）．…（7分）
（3）g(x)=f(x+φ)=

2

sin(

x+φ

2

+

π

4

)+1，∵g（x）為偶函數，
∴圖象關于y軸為對稱軸
將x=0代入，得sin(

φ

2

+

π

4

)=±1，則有

φ

2

+

π

4

=kπ+

π

2

⇒φ=2kπ+

π

2

又∵φ∈（0，π），∴φ=

π

2

，則g(x)=

2

sin(

x

2

+

π

2

)+1=

2

cos

x

2

+1…（10分）
當cos

x

2

=1，時，函數g（x）取得最大值

2

+1
此時

x

2

=2kπ⇒x=4kπ，其中k∈Z．…（12分）

點評：本題考查復合三角函數的單調性，三角函數的解析式的求法，三角函數的化簡求值，考查計算能力轉化思想．