Question

（2012•昌平區二模）已知函數f(x)=x-

a

x

-(a+1)lnx，a∈R．
（Ⅰ）當a＞1時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定f （x）的定義域，求導函數，利用導數的正負，即可求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）分類討論，確定函數的單調性，利用f（x）在[1，e]上的最小值為-2，即可求a的值．

解答：解：（Ⅰ）f （x）的定義域為{x|x＞0}…（1分）．
求導函數可得f′(x)=1+

a

x2

-

a+1

x

=

x2+a-(a+1)x

x2

=

(x-1)(x-a)

x2

…（3分）
a＞1時，令f'（x）＞0，即

(x-1)(x-a)

x2

＞0，∴x＜1或x＞a，
∴f（x）的增區間為（0，1），（a，+∞）…（4分）
令f'（x）＜0，即

(x-1)(x-a)

x2

＜0，∴1＜x＜a，
∴f（x）的減區間為（1，a）…（5分）
（Ⅱ）①當a≤1時，f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，
∴f（x）在[1，e]恒為增函數．…（6分）
∴[f（x）]_min=f（1）=1-a=-2，得a=3（舍去）．…（7分）
②當1＜a＜e時，令f'（x）=0，得x=a或1．
當1＜x＜a時，f'（x）＜0∴f（x）在（1，a）上為減函數；
當a＜x＜e時，f'（x）＞0∴f（x）在（a，e）上為增函數；
∴[f（x）]_min=f（a）=a-1-（a+1）lna=-2，得a=e（舍）…（10分）
③當a＞e時，f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]恒為減函數．
∴[f(x)]min=f(e)=e-

a

e

-(a+1)=-2，得 a=e．…（12分）
綜上可知 a=e．…（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查函數的最值，正確分類是關鍵．