Question

（08年新建二中三模）設、分別為橢圓的左、右頂點,橢圓長半軸的長等于焦距,且為它的右準線.

   ⑴求橢圓的方程；

   ⑵設為右準線上不同于點的任意一點,若直線、分別與橢圓相交于異于、的點、,證明：點在以為直徑的圓內.

 

Answer 1

解析：⑴依題意得,,解得,從而.故橢圓的方程為.

  ⑵解法：由⑴得,,.∵M點在橢圓上,∴ ①.又點異于

    點、,∴,由三點共線得.∴,,

    ∴  ②.將①代入②,化簡得.

   ∵,∴,則為銳角,∴為鈍角,故點在以為直徑的圓內.

   解法：由⑴得,,設.則,.又的中點

      為,依題意,點到圓心的距離與半徑的差

       ③.又直線：,

      直線：,而兩直線與的交點在準線上,∴,即

      ④.又點M在橢圓上，則，即 ⑤.于是將④、⑤

      代入③,化簡后可得.從而,點在以為直徑的圓內.