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精英家教網點D，E，F分別是△ABC三邊AB，BC，CA的中點，求證：
（1）
AB
+
BE
=
AC
+
CE
．
（2）
EA
+
FB
+
DC
=
0
．
分析：（1）利用圖形和向量加法的三角形法則，證明左邊等于右邊；
（2）利用圖形和向量加法的三角形法則，分別求出
EA
、
FB
和
DC
，再把它們加在一起，由中點和向量相等證明出左邊等于
0
．
解答：證明：（1）由向量加法的三角形法則得，
AB
+
BE
=
AE
，
同理可得，
AC
+
CE
=
AE
，
∴
AB
+
BE
=
AC
+
CE
，
（2）由向量加法的三角形法則得，
EA
=
EB
+
BA
，
同理可得，
FB
=
FC
+
CB
，
DC
=
DB
+
BC
，
∴左邊=
EA
+
FB
+
DC
=
EB
+
BA
+
FC
+
CB
+
DB
+
BC
=
EB
+
BA
+
FC
+
DB
   ①，
∵點D，E，F分別是△ABC三邊AB，BC，CA的中點，
∴
FC
=
AF
，代入①得，左邊=
EB
+
BF
+
DB
=
EF
+
DB
，
又∵
EF
=
BD
，∴左邊=
0
=右邊，
故等式成立．
點評：本題的考點是向量加法以及幾何意義，主要考查了三角形法則以及向量相等的應用，注意利用圖形進行化簡和證明．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

19、如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點D、E、F分別是BC、AC1、BB1的中點．
（1）求證：平面AC1D⊥平面BCC1B1；
（2）求證：EF∥平面A1B1C1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如右圖，已知點D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、CA的中點，求證：
EA
+
FB
+
DC
=
0
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•廣安二模）如圖，在三棱錐P-ABC中，PB⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，點D，E，F分別是AC，AB，BC的中點．
（1）求證：EF⊥PD；
（2）求直線PF與平面PBD所成的角的大小；
（3）求二面角E-PF-B的大小．

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科目：高中數學 來源：2010年河南省許昌市六校聯考高一下學期期末考試數學卷 題型：選擇題

已知點D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，且，給出下列四個等式：①②；

③；④.

其中正確命題的序號是（  ）

A.①②③      B.①②④      C.②③④        D.①③④

 

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