Question

已知ABCD是空間四邊形形，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，如果對

角線AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于                   （    ）

A．10                 B．15             C．20             D．25

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：依次連接EF、FG、GH、HE

∵E是AB中點，H是AD中點，∴EH∥BD，且EH= BD=1

同理：

FG∥BD，FG= BD=1 ,所以，EH∥FG，EH=FG

同理，EF∥HG，EF=HG

所以，四邊形EFGH為邊長為1、2的平行四邊形

設∠EHG=θ，那么∠HEF=180°-θ

在△EHG中，由余弦定理有：

EG2=EH2+HG2-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ

在△EFH中，由余弦定理有：

FH2=EF2+EH2-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）=5+4cosθ

上述兩式相加，得到：

EG2+FH2=5-4cosθ+5+4cosθ=10

故選A

考點：本題主要考查空間四邊形中的線線平行關系及余弦定理的應用。

點評：注意把立體幾何問題轉化成平面問題，這里運用了余弦定理，對高一學生來說是個難題。