Question

如圖：過拋物線y²=4x上的點A（1，2）作切線l交x軸與直線x=-4分別于D，B．動點P是拋物線y²=4x上的一點，點E在線段AP上，滿足

AE

EP

=λ1；點F在線段BP上，滿足

BF

FP

=λ2，3λ₁+2λ₂=15且在△ABP中，線段PD與EF交于點Q．
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）若M，N是直線x=-3 上的兩點，且⊙O₁：（x+2）²+y²=1是△QMN的內切圓，試求△QMN面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）切線AB：y=x+1，D（-1，0），B（-4，-3），

BD

=（3，3），

DA

=（2，2），

BD

=

3

2

DA

，則

PD

=

PB + 3 2 PA

1+ 3 2

=

2

5

PB

+

3

5

PA

，由此能求出點Q的軌跡方程．
（2）設Q（x₀，y₀）（x0＞-

1

4

），M（-3，m），N（-3，n），則y2=3x0+

3

4

（y0≠

3

2

）．切線MQ：y-m=

y0-m

x0+3

(x+3)，由相切可得：（x₀+1）m²+2y₀m-（x₀+3）=0，同理（x₀+1）n²+2y₀n-（x₀+3）=0．由此能求出△QMN面積的取值范圍．

解答：解：（1）切線AB：y=x+1，D（-1，0），
B（-4，-3），

BD

=（3，3），

DA

=（2，2），

BD

=

3

2

DA

，
則

PD

=

PB + 3 2 PA

1+ 3 2

=

2

5

PB

+

3

5

PA

，
令

PQ

=λ

PD

=

2

5

λ

PA

=

3

5

λ(1+λ1)

PE

+

2

5

λ(1+λ2)

PF

，
由于E，Q，F三點共線，所以

3

5

λ(1+λ1)+

2

5

λ(1+λ2)=1，
即λ+λ(

3

5

λ1+

2

5

λ2)=1，
又3λ₁+2λ₂=15，故λ=

1

4

，Q分

PD

的定比為

1

3

，
設P（x₀，y₀），Q（x，y），則

x= 3x0-1 4 y= 3 4 y0

，
故

x0= 4x+1 3 y0= 4 3 y

，得y2=3x+

3

4

（y≠

3

2

）
（2）設Q（x₀，y₀）（x0＞-

1

4

），M（-3，m），N（-3，n），
則y2=3x0+

3

4

（y0≠

3

2

）
切線MQ：y-m=

y0-m

x0+3

(x+3)，
由相切可得：（x₀+1）m²+2y₀m-（x₀+3）=0，
同理（x₀+1）n²+2y₀n-（x₀+3）=0．
知m，n是方程（x₀+1）x²+2y₀x-（x₀+3）=0的兩根
故m+n= 

-2y0

x0+1

，m•n=

-(x0+3)

x0+1

，
S△QMN=

1

2

|m-n|•(x0+3)
=

1

2

[ 12x0+3 (x0+1)2 + 4x0+12 x0+1 ](x0+3)2

，
令t=x₀+1，
則g(t)=

(4t2+20t-9)(t+2)2

t2

（t≥

3

4

），
二次求導可知g′（t）＞0，
△QMN面積的取值范圍[

11 33

12

，+∞)．

點評：本題考查點Q的軌跡方程的求法和求△QMN面積的取值范圍，具體涉及到拋物線的性質、圓的性質和直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要認真審題，仔細解答．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．