Question

如圖，在四棱錐中,底面,且底面為正方形,分別為的中點．

（1）求證:平面;

（2）求平面和平面的夾角.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）證明直線平面，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對邊平行，還可以利用面面平行的性質，本題由于分別為的中點，可得，，容易證明平面平面，可得直線平面；本題還可用向量法，由于底面,且底面為正方形,可以為原點,以分別為軸，建立空間坐標系，由題意寫出各點的坐標，從而得，設平面的法向量為，求出一個法向量，計算出，即可；（2）求平面和平面的夾角，可用向量法，由（1）解法二可知平面的法向量，由題意可知：平面，故向量是平面的一個法向量,利用夾角公式即可求出平面和平面的夾角.

試題解析：（1）如圖，以為原點,以為方向向量

建立空間直角坐標系

則.

. 4分

設平面的法向量為

即 令, 首發

則. 4分

又平面平面 6分

（2）底面是正方形,又平面

又,平面。 8分

向量是平面的一個法向量,又由（1）知平面的法向量. 10分

二面角的平面角為. 12分

考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定．