Question

某校高一年級共有學生320人．為調查高一年級學生每天晚自習自主支配學習時間（指除了完成教師布置的作業后學生根據自己的需要進行學習的時間）情況，學校采用隨機抽樣的方法從高一學生中抽取了n名學生進行問卷調查．根據問卷得到了這n名學生每天晚自習自主支配學習時間的數據（單位：分鐘），按照以下區間分為七組：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40，50），⑥[50，60），⑦[60，70），得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學生中每天晚自習自主支配學習時間低于20分鐘的人數是4人．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若高一全體學生平均每天晚自習自主支配學習時間少于45分鐘，則學校需要減少作業量．根據以上抽樣調查數據，學校是否需要減少作業量？（注：統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表）
（Ⅲ）問卷調查完成后，學校從第3組和第4組學生中利用分層抽樣的方法抽取7名學生進行座談，了解各學科的作業布置情況，并從這7人中隨機抽取兩名學生聘為學情調查聯系人，設第3組中學生被聘的人數是X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）由圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06
則n×（0.02+0.06）=4，解得n=50
（Ⅱ）設第i組的頻率和頻數分別是p_i和x_i，由圖知p₁=0.02，p₂=0.06，p₃=0.3，p₄=0.4，p₅=0.12，p₆=0.08，p₇=0.02
則由x_i=50×p_i，可得x₁=1，x₂=3，x₃=15，x₄=20，x₅=6，x₆=4，x₇=1
則高一學生每天平均自主支配時間是：

則學校需要減少作業量．
（Ⅲ）第3組和第4組的頻數分別是15和20，用分層抽樣的方法抽取7人，則第3組應抽（人），第4組應抽（人）
由題意知X=0，1，2，且，，
則X的分布列是

X	0	1	2
P

則
分析：（Ⅰ）由圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，則n×（0.02+0.06）=4，由此能求出n．
（Ⅱ）設第i組的頻率和頻數分別是p_i和x_i，由圖知p₁=0.02，p₂=0.06，p₃=0.3，p₄=0.4，p₅=0.12，p₆=0.08，p₇=0.02
則由x_i=50×p_i，可得x₁=1，x₂=3，x₃=15，x₄=20，x₅=6，x₆=4，x₇=1．由此能求出高一學生每天平均自主支配時間．（Ⅲ）第3組和第4組的頻數分別是15和20，用分層抽樣的方法抽取7人，則第3組應抽人，第4組應抽人．由題意知X=0，1，2，由此能求出X的分布列和期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解題時要認真審題，仔細讀圖，注意數形結合思想的合理運用．